一、題目

1.主題：邏輯回歸

2.描述：假設(shè)你是某大學招生主管，你想根據(jù)兩次考試的結(jié)果決定每個申請者的錄取
機會。現(xiàn)有以往申請者的歷史數(shù)據(jù)，可以此作為訓練集建立邏輯回歸模型，并用
其預(yù)測某學生能否被大學錄取。

3.數(shù)據(jù)集：文件 ex2data1.txt ，第一列、第二列分別表示申請者兩次
考試的成績，第三列表示錄取結(jié)果（1 表示錄取，0 表示不錄取）。

二、目的

1.理解邏輯回歸模型

2.掌握邏輯回歸模型的參數(shù)估計算法

三、平臺

1.硬件：計算機

2.操作系統(tǒng)：WINDOWS

3.編程軟件：Pycharm

4.開發(fā)語言：python

四、基本原理

注：基本原理是我們在學習邏輯回歸過程中的一些總結(jié)，包括為什么要選擇對數(shù)損失函數(shù)等。

4.1 邏輯回歸

邏輯回歸就是將樣本的特征可樣本發(fā)生的概率聯(lián)合起來，概率就是一個數(shù)，所以就是解決分類問題，一般解決二分類問題。
對于線性回歸中，f ( x ) = w T x + b ，這里 f ( x ) 的范圍為[ − ∞ , + ∞ ]，說明通過線性回歸中我們可以求得任意的一個值。對于邏輯回歸來說就是概率，這個概率取值需要在區(qū)間[0,1]內(nèi)，通常我們使用Sigmoid函數(shù)表示。

Sigmoid函數(shù)其表達式為（2）

最終我們可以通過Sigmoid函數(shù)求出對于每組自變量使得因變量預(yù)測為1的概率P；

即：

（當P>0.5時預(yù)測為1，小于0.5為0）
在分類情況下，經(jīng)過學習后的LR分類器其實就是一組權(quán)值θ ，當有測試樣本輸入時，這組權(quán)值與測試數(shù)據(jù)按照加權(quán)得到

之后按照Sigmoid函數(shù)的形式求出

從而去判斷每個測試樣本所屬的類別。

4.2 損失函數(shù)

實驗一我們做線性回歸模型時，給出了線性回歸的代價函數(shù)的形式（誤差平方和函數(shù)），具體形式如：

但是并不能應(yīng)用到邏輯回歸中，這是因為LR的假設(shè)函數(shù)的外層函數(shù)是Sigmoid函數(shù)，Sigmoid函數(shù)是一個復(fù)雜的非線性函數(shù)，這就使得我們將邏輯回歸的假設(shè)函數(shù)

帶入上式時，我們得到的 是一個非凸函數(shù)，如下圖：

因此，此處我們需要重新考慮損失函數(shù)；
在邏輯回歸中，我們最常用的損失函數(shù)為對數(shù)損失函數(shù)，對數(shù)損失函數(shù)可以為LR提供一個凸的代價函數(shù)，有利于使用梯度下降對參數(shù)求解。對數(shù)函數(shù)圖像如圖：

藍色的曲線表示的是對數(shù)函數(shù)的圖像，紅色的曲線表示的是負對數(shù) 的圖像，該圖像在0-1區(qū)間上有一個很好的性質(zhì)，如圖粉紅色曲線部分。在0-1區(qū)間上當z=1時，函數(shù)值為0，而z=0時，函數(shù)值為無窮大。這就可以和代價函數(shù)聯(lián)系起來，在預(yù)測分類中當算法預(yù)測正確其代價函數(shù)應(yīng)該為0；當預(yù)測錯誤，我們就應(yīng)該用一個很大代價（無窮大）來懲罰我們的學習算法，使其不要輕易預(yù)測錯誤。
因此，我們重新定義邏輯回歸的代價函數(shù)為：

損失函數(shù)的求解為：

五、實驗步驟

1.數(shù)據(jù)可視化

在python中通過文件導(dǎo)入數(shù)據(jù)，并使用matlibplot工具建立對應(yīng)散點圖：

需要注意的是，我們的theta是三元組，θ0對應(yīng)的X特征值固定為1，因此讀取數(shù)據(jù)時，如上圖最左側(cè)加入一個1；

可以看到，被錄取與不被錄取的數(shù)據(jù)有較為清晰的一個界限，接下來我們要求解的就是這條界線；

2. 將線性回歸參數(shù)初始化為0，計算代價函數(shù)(cost function)的初始值

根據(jù)基本原理中的代價計算公式，這里將sigmoid、損失公式代碼化：

將theta初始化為（0，0，0）后，直接調(diào)用cost函數(shù)求值：

得到代價函數(shù)初始值：

3. 選擇一種優(yōu)化方法求解邏輯回歸參數(shù)

(1)梯度下降法

我們選擇先用梯度下降法來觀察theta參數(shù)結(jié)果；
梯度下降算法代碼實現(xiàn)如圖：

X：對于線性回歸中的常量b，我們可以將它的系數(shù)視為1，然后和變量x組成一個m行3列的矩陣，其中m是數(shù)據(jù)規(guī)模，這個矩陣就是X。
Y：一個m行1列的矩陣，對應(yīng)是否錄取。
alpha：學習率
第一步，將我們的Θ初始化為[[0][0][0]]。
第二步，對于給定的步長alpha和此時的梯度gradient，更新我們的theta。然后計算此時thrta對應(yīng)的梯度更新gradient。
第三步，重復(fù)第二步30萬次
第四步，返回theta，即為我們線性回歸的參數(shù)。

但是，對于邏輯回歸來說，這里遇到了一個問題，那就是alpha和迭代次數(shù)的取值，如果alpha過小，損失函數(shù)將收斂的非常慢，迭代次數(shù)達到40萬時才勉強收斂，但如果alpha過大，又會導(dǎo)致過大的步長使得準確率下降；
alpha = 0.001時的收斂函數(shù)，在50萬次時收斂： 0.005時在25萬次時收斂；

而如果alpha繼續(xù)增大（如0.01），將導(dǎo)致不夠準確，其界限與收斂圖形如下：

（界限太差，僅80%準確率，且需要20萬次迭代）
因此，我們在運行該數(shù)據(jù)時需要運行稍長的時間；alpha=0.005，迭代次數(shù)為30萬時可以得到一組回歸參數(shù)：

它的劃分邊界如圖所示，其準確率為92%：該參數(shù)的劃分準確率計算方法如下：

測試準確率：

比較簡單，預(yù)測正確則加一，最后除以全部樣本數(shù)。

(2)牛頓迭代法

因為上述的迭代下降法所需迭代次數(shù)過多，因此這里使用一種優(yōu)化方法來求解參數(shù)；

方法介紹

牛頓迭代法的原理較為復(fù)雜，因此不在這里寫出來。
對比這牛頓迭代法方法與梯度下降法的參數(shù)更新公式可以發(fā)現(xiàn)，兩種方法不同在于牛頓法中多了一項二階導(dǎo)數(shù)，這項二階導(dǎo)數(shù)對參數(shù)更新的影響主要體現(xiàn)在 改變參數(shù)更新方向上。

如圖所示，紅色是牛頓法參數(shù)更新的方向，綠色為梯度下降法參數(shù)更新方向，因為牛頓法考慮了二階導(dǎo)數(shù)，因而可以找到更優(yōu)的參數(shù)更新方向，在每次更新的步幅相同的情況下，可以比梯度下降法節(jié)省很多的迭代次數(shù)。
迭代過程：

代碼實現(xiàn)

h值為sigmoid函數(shù)求得的概率；
J為一階偏導(dǎo)數(shù)
H為Hession矩陣（海森矩陣），二階偏導(dǎo)數(shù)

牛頓迭代法得到的theta：

優(yōu)點

對于同樣的學習率alpha = 0.005，cost僅需要1000次迭代就差不多收斂了；
而如果放大alpha，如alpha = 0.5，那么它只需要迭代10次即可收斂。

并且準確率保持在89%（數(shù)據(jù)較小）；

3. 某學生兩次考試成績分別為 42、85，預(yù)測其被錄取的概率

這里直接使用sigmoid函數(shù)以及牛頓迭代法求得的theta來進行其概率的計算：

得到結(jié)果：

即，y=1的概率為0.65145509，也就是被錄取的概率

4. 畫出分類邊界

在上面已經(jīng)畫出了梯度下降法的分類邊界，這里給出牛頓迭代法的邊界

到此這篇關(guān)于Python機器學習之邏輯回歸的文章就介紹到這了,更多相關(guān)Python邏輯回歸內(nèi)容請搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家！