在看論文《Detecting Regions of Maximal Divergence for Spatio-Temporal Anomaly Detection》時(shí)，文中提到了這三種方法來比較時(shí)間序列中不同區(qū)域概率分布的差異。

KL散度、JS散度和交叉熵

三者都是用來衡量兩個(gè)概率分布之間的差異性的指標(biāo)。不同之處在于它們的數(shù)學(xué)表達(dá)。

對于概率分布P(x)和Q(x)

1）KL散度（Kullback–Leibler divergence）

又稱KL距離，相對熵。

當(dāng)P(x)和Q(x)的相似度越高，KL散度越小。

KL散度主要有兩個(gè)性質(zhì)：

（1）不對稱性

盡管KL散度從直觀上是個(gè)度量或距離函數(shù)，但它并不是一個(gè)真正的度量或者距離，因?yàn)樗痪哂袑ΨQ性，即D(P||Q)!=D(Q||P)。

（2）非負(fù)性

相對熵的值是非負(fù)值，即D(P||Q)>0。

2）JS散度（Jensen-Shannon divergence）

JS散度也稱JS距離，是KL散度的一種變形。

但是不同于KL主要又兩方面：

（1）值域范圍

JS散度的值域范圍是[0,1]，相同則是0，相反為1。相較于KL，對相似度的判別更確切了。

（2）對稱性

即 JS(P||Q)=JS(Q||P)，從數(shù)學(xué)表達(dá)式中就可以看出。

3）交叉熵（Cross Entropy）

在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，交叉熵可以作為損失函數(shù)，因?yàn)樗梢院饬縋和Q的相似性。

交叉熵和相對熵的關(guān)系：

以上都是基于離散分布的概率，如果是連續(xù)的數(shù)據(jù)，則需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行Probability Density Estimate來確定數(shù)據(jù)的概率分布，就不是求和而是通過求積分的形式進(jìn)行計(jì)算了。

補(bǔ)充：信息熵、交叉熵與KL散度

信息量

在信息論與編碼中，信息量，也叫自信息（self-information），是指一個(gè)事件所能夠帶來信息的多少。一般地，這個(gè)事件發(fā)生的概率越小，其帶來的信息量越大。

從編碼的角度來看，這個(gè)事件發(fā)生的概率越大，其編碼長度越小，這個(gè)事件發(fā)生的概率越小，其編碼長度就越大。但是編碼長度小也是代價(jià)的，比如字母'a'用數(shù)字‘0'來表示時(shí)，為了避免歧義，就不能有其他任何以‘0'開頭的編碼了。

因此，信息量定義如下：

信息熵

信息熵是指一個(gè)概率分布p的平均信息量，代表著隨機(jī)變量或系統(tǒng)的不確定性，熵越大，隨機(jī)變量或系統(tǒng)的不確定性就越大。從編碼的角度來看，信息熵是表示一個(gè)概率分布p需要的平均編碼長度，其可表示為：

交叉熵

交叉熵是指在給定真實(shí)分布q情況下，采用一個(gè)猜測的分布p對其進(jìn)行編碼的平均編碼長度（或用猜測的分布來編碼真實(shí)分布得到的信息量）。

交叉熵可以用來衡量真實(shí)數(shù)據(jù)分布于當(dāng)前分布的相似性，當(dāng)前分布與真實(shí)分布相等時(shí)（q=p），交叉熵達(dá)到最小值。

其可定義為：

因此，在很多機(jī)器學(xué)習(xí)算法中都使用交叉熵作為損失函數(shù)，交叉熵越小，當(dāng)前分布與真實(shí)分布越接近。此外，相比于均方誤差，交叉熵具有以下兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：

在LR中，如果用均方誤差損失函數(shù)，它是一個(gè)非凸函數(shù)，而使用交叉熵?fù)p失函數(shù)，它是一個(gè)凸函數(shù)；

在LR中使用sigmoid激活函數(shù)，如果使用均方誤差損失函數(shù)，在對其求殘差時(shí)，其表達(dá)式與激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有關(guān)，而sigmoid（如下圖所示）的導(dǎo)數(shù)在輸入值超出[-5,5]范圍后將非常小，這會帶來梯度消失問題，而使用交叉熵?fù)p失函數(shù)則能避免這個(gè)問題。

KL散度

KL散度又稱相對熵，是衡量兩個(gè)分布之間的差異性。從編碼的角度來看，KL散度可表示為采用猜測分布p得到的平均編碼長度與采用真實(shí)分布q得到的平均編碼長度多出的bit數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式可定義為：

一般地，兩個(gè)分布越接近，其KL散度越小，最小為0.它具有兩個(gè)特性：

非負(fù)性，即KL散度最小值為0，其詳細(xì)證明可見[1] ;

非對稱性，即Dq(p)不等于Dp(q) ; KL散度與交叉熵之間的關(guān)系

在這里，再次盜用[1]的圖來形象地表達(dá)這兩者之間的關(guān)系：

最上方cH(p)為信息熵，表示分布p的平均編碼長度/信息量；

中間的Hq(p)表示用分布q表編碼分布p所含的信息量或編碼長度，簡稱為交叉熵，其中Hq(p)>=H(p)

;最小方的Dq(p)表示的是q對p的KL距離，衡量了分布q和分布p之間的差異性，其中Dq(p)>=0;

從上圖可知，Hq(p) = H(p) + Dq(p)。

以上為個(gè)人經(jīng)驗(yàn)，希望能給大家一個(gè)參考，也希望大家多多支持腳本之家。