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python 解決微分方程的操作(數值解法)

Python求解微分方程（數值解法）

對于一些微分方程來說，數值解法對于求解具有很好的幫助，因為難以求得其原方程。

比如方程：

但是我們知道了它的初始條件，這對于我們疊代求解很有幫助，也是必須的。

那么現在我們也用Python去解決這一些問題，一般的數值解法有歐拉法、隱式梯形法等，我們也來看看這些算法對疊代的精度有什么區別？

```python
```python
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
from matplotlib import pyplot as plt
import os
#先從odeint函數直接求解微分方程
#創建歐拉法的類
class Euler:
    #構造方法，當創建對象的時候，自動執行的函數
    def __init__(self,h,y0):
        #將對象與對象的屬性綁在一起
        self.h = h
        self.y0 = y0
        self.y = y0
        self.n = 1/self.h
        self.x = 0
        self.list = [1]
        #歐拉法用list列表,其x用y疊加儲存
        self.list2 = [1]
        self.y1 = y0
        #改進歐拉法用list2列表，其x用y1疊加儲存
        self.list3 = [1]
        self.y2 = y0
        #隱式梯形法用list3列表，其x用y2疊加儲存
    #歐拉法的算法，算法返回t,x
    def countall(self):
        for i in range(int(self.n)):
            y_dere = -20*self.list[i]
            #歐拉法疊加量y_dere = -20 * x
            y_dere2 = -20*self.list2[i] + 0.5*400*self.h*self.list2[i]
            #改進歐拉法疊加量 y_dere2 = -20*x(k) + 0.5*400*delta_t*x(k)
            y_dere3 = (1-10*self.h)*self.list3[i]/(1+10*self.h)
            #隱式梯形法計算 y_dere3 = (1-10*delta_t)*x(k)/(1+10*delta_t)
            self.y += self.h*y_dere
            self.y1 += self.h*y_dere2
            self.y2 =y_dere3
            self.list.append(float("%.10f" %self.y))
            self.list2.append(float("%.10f"%self.y1))
            self.list3.append(float("%.10f"%self.y2))
        return np.linspace(0,1,int(self.n+1)), self.list,self.list2,self.list3
step = input("請輸入你需要求解的步長:")
step = float(step)
work1 = Euler(step,1)
ax1,ay1,ay2,ay3 = work1.countall()
#畫圖工具plt
plt.figure(1)
plt.subplot(1,3,1)
plt.plot(ax1,ay1,'s-.',MarkerFaceColor = 'g')
plt.xlabel('橫坐標t',fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.ylabel('縱坐標x',fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.title('歐拉法求解微分線性方程步長為'+str(step),fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.subplot(1,3,2)
plt.plot(ax1,ay2,'s-.',MarkerFaceColor = 'r')
plt.xlabel('橫坐標t',fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.ylabel('縱坐標x',fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.title('改進歐拉法求解微分線性方程步長為'+str(step),fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.subplot(1,3,3)
plt.plot(ax1,ay3,'s-.',MarkerFaceColor = 'b')
plt.xlabel('橫坐標t',fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.ylabel('縱坐標x',fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.title('隱式梯形法求解微分線性方程步長為'+str(step),fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.figure(2)
plt.plot(ax1,ay1,ax1,ay2,ax1,ay3,'s-.',MarkerSize = 3)
plt.xlabel('橫坐標t',fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.ylabel('縱坐標x',fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
plt.title('三合一圖像步長為'+str(step),fontproperties = 'simHei',fontsize =20)
ax = plt.gca()
ax.legend(('$Eular$','$fixed Eular$','$trapezoid$'),loc = 'lower right',title = 'legend')
plt.show()
os.system("pause")

對于歐拉法，它的疊代方法是：

改進歐拉法的疊代方法：

隱式梯形法：

對于不同的步長，其求解的精度也會有很大的不同，我先放一幾張結果圖：

補充：基于python的微分方程數值解法求解電路模型

安裝環境包

安裝numpy（用于調節range）和 matplotlib（用于繪圖）

在命令行輸入

pip install numpy 
pip install matplotlib

電路模型和微分方程

模型1

無損害，電容電壓為5V，電容為0.01F，電感為0.01H的并聯諧振電路

電路模型1

微分方程1

$u=-LC\frac{d^{2}u}{dt^{2 }}$

模型2

帶電阻損耗的電容電壓為5V，電容為0.01F，電感為0.01H的的并聯諧振

電路模型2

微分方程2

$u_{c} +RC\frac{du_{c}}{dt}+LC\frac{d^{2}u}{dt^{2}}=0$

python代碼

模型1

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
L = 0.01  #電容的值 F
C = 0.01  #電感的值 L
u_0 = 5   #電容的初始電壓
u_dot_0 = 0
 
def equition(u,u_dot):#二階方程
    u_double_dot = -u/(L*C)
    return u_double_dot
 
def draw_plot(time_step,time_scale):#時間步長和范圍
    u = u_0
    u_dot = u_dot_0  #初始電壓和電壓的一階導數
    time_list = [0] #時間lis
    Votage = [u] #電壓list
    plt.figure()
    for time in np.arange(0,time_scale,time_step):#使用歐拉數值計算法 一階近似
        u_double_dot = equition(u,u_dot) #二階導數
        u_dot = u_dot + u_double_dot*time_step #一階導數
        u = u + u_dot*time_step #電壓
        time_list.append(time) #結果添加
        Votage.append(u) #結果添加
        print(u)
    plt.plot(time_list,Votage,"b--",linewidth=1) #畫圖
    plt.show()
    plt.savefig("easyplot.png")
 
if __name__ == '__main__':
    draw_plot(0.0001,1)

模型2

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
L = 0.01  #電容的值 F
C = 0.01  #電感的值 L
R = 0.1   #電阻值
u_0 = 5   #電容的初始電壓
u_dot_0 = 0
 
def equition(u,u_dot):#二階方程
    u_double_dot =(-R*C*u_dot -u)/(L*C)
    return u_double_dot
 
def draw_plot(time_step,time_scale):#時間步長和范圍
    u = u_0
    u_dot = u_dot_0  #初始電壓和電壓的一階導數
    time_list = [0] #時間lis
    Votage = [u] #電壓list
    plt.figure()
    for time in np.arange(0,time_scale,time_step):#使用歐拉數值計算法 一階近似
        u_double_dot = equition(u,u_dot) #二階導數
        u_dot = u_dot + u_double_dot*time_step #一階導數
        u = u + u_dot*time_step #電壓
        time_list.append(time) #結果添加
        Votage.append(u) #結果添加
        print(u)
    plt.plot(time_list,Votage,"b-",linewidth=1) #畫圖
    plt.show()
    plt.savefig("result.png")
 
if __name__ == '__main__':
    draw_plot(0.0001,1)