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教你使用Python建立任意層數的深度神經網絡

一、神經網絡介紹:

　　神經網絡算法參考人的神經元原理(軸突、樹突、神經核)，在很多神經元基礎上構建神經網絡模型，每個神經元可看作一個個學習單元。這些神經元采納一定的特征作為輸入，根據自身的模型得到輸出。

圖1 神經網絡構造的例子（符號說明：上標[l]表示與第l層；上標（i）表示第i個例子；下標i表示矢量第i項)

圖2 單層神經網絡示例

神經元模型是先計算一個線性函數（z=Wx+b），接著再計算一個激活函數。一般來說，神經元模型的輸出值是a=g(Wx+b)，其中g是激活函數（sigmoid,tanh, ReLU, …）。

二、數據集

假設有一個很大的數據庫，里面記錄了很多天氣數據，例如，氣溫、濕度、氣壓和降雨率。

問題陳述：

一組訓練數據m_train，下雨標記為（1），不下雨標記為（0）。

一個測試數據組m_test，標記是否下雨。

每一個天氣數據包含x1=氣溫，x2=濕度，x3=氣壓。

機器學習中一個常見的預處理步驟是將數據集居中并標準化，這意味著從每個示例中減去整個numpy數組的平均值，然后將每個示例除以整個numpy數組的標準偏差。

　　通用方法（建立部分算法）

　　使用深度學習來建造模型

　　1. 定義模型構造（例如，數據的輸入特征）

　　2. 初始化參數并定義超參數(迭代次數、在神經網絡中的L層的層數、隱藏層大小、學習率α）

　　3. 迭代循環(huán)（正向傳播（計算電流損耗）、計算成本函數、反向傳播（計算電流損耗）、升級參數（使用背景參數和梯度））

　　4. 使用訓練參數來預測標簽（初始化）

更深層次的L-層神經網絡的初始化更為復雜，因為有更多的權重矩陣和偏置向量。下表展示了不同結構的各種層級。

表1 L層的權重矩陣w、偏置向量b和激活函數z

表2 示例架構中的神經網絡權重矩陣w、偏置向量b和激活函數z

表2幫助我們?yōu)閳D1中的示例神經網絡架構的矩陣準備了正確的維度。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
nn_architecture = [
{"layer_size": 4,"activation": "none"}, # input layer
{"layer_size": 5,"activation": "relu"},
{"layer_size": 4,"activation": "relu"},
{"layer_size": 3,"activation": "relu"},
{"layer_size": 1,"activation": "sigmoid"}
]
def initialize_parameters(nn_architecture, seed = 3):
np.random.seed(seed)
# python dictionary containingour parameters "W1", "b1", ..., "WL","bL"
parameters = {}
number_of_layers = len(nn_architecture)
for l in range(1,number_of_layers):
parameters['W' + str(l)] =np.random.randn(
nn_architecture[l]["layer_size"],
nn_architecture[l-1]["layer_size"]
) * 0.01
parameters['b' + str(l)] =np.zeros((nn_architecture[l]["layer_size"], 1))
return parameters

代碼段1 參數初始化

　　使用小隨機數初始化參數是一種簡單的方法，但同時也保證算法的起始值足夠好。

記住：

不同的初始化工具，例如Zero,Random, He or Xavier，都會導致不同的結果。
隨機初始化能夠確保不同的隱藏單元可以學習不同的東西（初始化所有權重為零會導致，所有層次的所有感知機都將學習相同的東西）。
不要初始化為太大的值

三、激活函數

　　激活函數的作用是為了增加神經網絡的非線性。下例將使用sigmoid and ReLU。

　　Sigmoid輸出一個介于0和1之間的值，這使得它成為二進制分類的一個很好的選擇。如果輸出小于0.5，可以將其分類為0；如果輸出大于0.5，可以將其分類為1。

def sigmoid(Z):
    S = 1 / (1 + np.exp(-Z))
    return S

def relu(Z):
    R = np.maximum(0, Z)
    return R

def sigmoid_backward(dA, Z):
    S = sigmoid(Z)
    dS = S * (1 - S)
    return dA * dS

def relu_backward(dA, Z):
    dZ = np.array(dA, copy=True)
    dZ[Z = 0] = 0
    return dZ

　　代碼段2 Sigmoid和ReLU激活函數，及其衍生物

　　在代碼段2中，可以看到激活函數及其派生的矢量化編程實現。該代碼將用于進一步的計算。

四、正向傳播

　　在正向傳播中，在層l的正向函數中，需要知道該層中的激活函數是哪一種（sigmoid、tanh、ReLU等）。前一層的輸出值為這一層的輸入值，先計算z，再用選定的激活函數計算。

圖3 神經網絡的正向傳播

線性正向模塊（對所有示例進行矢量化）計算以下方程式：

方程式1 線性正向函數

def L_model_forward(X, parameters, nn_architecture):
    forward_cache = {}
    A = X
    number_of_layers = len(nn_architecture)
    
for l in range(1, number_of_layers):
    A_prev = A
    W = parameters['W' + str(l)]
    b = parameters['b' + str(l)]
    activation = nn_architecture[l]["activation"]
    Z, A = linear_activation_forward(A_prev, W, b, activation)
    forward_cache['Z' + str(l)] = Z
    forward_cache['A' + str(l)] = A
    AL = A
return AL, forward_cache

def linear_activation_forward(A_prev, W, b, activation):
    if activation == "sigmoid":
        Z = linear_forward(A_prev, W, b)
        A = sigmoid(Z)
    elif activation == "relu":
        Z = linear_forward(A_prev, W, b)
        A = relu(Z)
    return Z, A

def linear_forward(A, W, b):
    Z = np.dot(W, A) + b
    return Z

代碼段3 正向傳播模型

使用“cache”（python字典包含為特定層所計算的a和z值）以在正向傳播至相應的反向傳播期間傳遞變量。它包含用于反向傳播計算導數的有用值。

五、損失函數

　　為了管程學習過程，需要計算代價函數的值。下面的公式用于計算成本。

　　方程式2 交叉熵成本

def compute_cost(AL, Y):
    m = Y.shape[1]
    # Compute loss from AL and y
    logprobs = np.multiply(np.log(AL), Y) + np.multiply(1 - Y, np.log(1 - AL))
    # cross-entropy cost
    cost = - np.sum(logprobs) / m
    cost = np.squeeze(cost)
    return cost

代碼段4 代價函數的計算

六、反向傳播

　　反向傳播用于計算參數的損失函數梯度。該算法是由微分學中已知的“鏈規(guī)則”遞歸使用的。

　　反向傳播計算中使用的公式：

方程式3 反向傳播計算公式

　　鏈式法則是計算復合函數導數的公式。復合函數就是函數套函數。

方程式4 鏈規(guī)則示例

　　“鏈規(guī)則”在計算損失時十分重要（以方程式5為例）。

方程式5 損失函數（含替換數據）及其相對于第一權重的導數

　　神經網絡模型反向傳播的第一步是計算最后一層損失函數相對于z的導數。方程式6由兩部分組成：方程式2損失函數的導數（關于激活函數）和激活函數“sigmoid”關于最后一層Z的導數。

方程式6 從4層對z的損失函數導數

　　方程式6的結果可用于計算方程式3的導數。

方程式7 損失函數相對于3層的導數

　　在進一步計算中，使用了與第三層激活函數有關的損失函數的導數（方程式7）。

方程式8 第三層的導數

方程式7的結果和第三層活化函數“relu”的導數用于計算方程式8的導數（損失函數相對于z的導數）。然后，我們對方程式3進行了計算。

我們對方程9和10做了類似的計算。

方程式9 第二層的導數

方程式10 第一層的導數

七、總體思路

從第一層層對z的損失函數導數有助于計算（L-1）層（上一層）對損失函數的導數。結果將用于計算激活函數的導數。

圖4 神經網絡的反向傳播

def L_model_backward(AL, Y, parameters, forward_cache, nn_architecture):
    grads = {}
    number_of_layers =len(nn_architecture)
    m = AL.shape[1]
    Y = Y.reshape(AL.shape) # afterthis line, Y is the same shape as AL
    # Initializing thebackpropagation
    dAL = - (np.divide(Y, AL) -np.divide(1 - Y, 1 - AL))
    dA_prev = dAL
    for l in reversed(range(1,number_of_layers)):
        dA_curr = dA_prev
        activation =nn_architecture[l]["activation"]
        W_curr = parameters['W' +str(l)]
        Z_curr = forward_cache['Z' +str(l)]
        A_prev = forward_cache['A' +str(l-1)]
        dA_prev, dW_curr, db_curr =linear_activation_backward(dA_curr, Z_curr, A_prev, W_curr, activation)
        grads["dW" +str(l)] = dW_curr
        grads["db" +str(l)] = db_curr
    return grads
def linear_activation_backward(dA, Z, A_prev, W, activation):
    if activation =="relu":
        dZ = relu_backward(dA, Z)
        dA_prev, dW, db =linear_backward(dZ, A_prev, W)
    elif activation =="sigmoid":
        dZ = sigmoid_backward(dA, Z)
        dA_prev, dW, db =linear_backward(dZ, A_prev, W)
    return dA_prev, dW, db
def linear_backward(dZ, A_prev, W):
    m = A_prev.shape[1]
    dW = np.dot(dZ, A_prev.T) / m
    db = np.sum(dZ, axis=1,keepdims=True) / m
    dA_prev = np.dot(W.T, dZ)
    return dA_prev, dW, db

代碼段5 反向傳播模塊

更新參數

　　該函數的目標是通過梯度優(yōu)化來更新模型的參數。

def update_parameters(parameters, grads, learning_rate):
    L = len(parameters)
    for l in range(1, L):
        parameters["W" +str(l)] = parameters["W" + str(l)] - learning_rate *grads["dW" + str(l)]
        parameters["b" +str(l)] = parameters["b" + str(l)] - learning_rate *grads["db" + str(l)]
    return parameters

全模型

神經網絡模型的完整實現包括在片段中提供的方法。

def L_layer_model(X, Y, nn_architecture, learning_rate = 0.0075,num_iterations = 3000, print_cost=False):
    np.random.seed(1)
    # keep track of cost
    costs = []
    # Parameters initialization.
    parameters =initialize_parameters(nn_architecture)
    # Loop (gradient descent)
    for i in range(0,num_iterations):
    # Forward propagation:[LINEAR -> RELU]*(L-1) -> LINEAR -> SIGMOID.
        AL, forward_cache =L_model_forward(X, parameters, nn_architecture)
        # Compute cost.
        cost = compute_cost(AL, Y)
        # Backward propagation.
        grads = L_model_backward(AL,Y, parameters, forward_cache, nn_architecture)
        # Update parameters.
        parameters =update_parameters(parameters, grads, learning_rate)
        # Print the cost every 100training example
        if print_cost and i % 100 ==0:
            print("Cost afteriteration %i: %f" %(i, cost))
            costs.append(cost)
            # plot the cost
    plt.plot(np.squeeze(costs))
    plt.ylabel('cost')
    plt.xlabel('iterations (pertens)')
    plt.title("Learning rate=" + str(learning_rate))
    plt.show()
    return parameters

代碼段7 整個神經網絡模型

只需要將已知的權重和系列測試數據，應用于正向傳播模型，就能預測結果。

　　可以修改snippet1中的nn_架構，以構建具有不同層數和隱藏層大小的神經網絡。此外，準備正確實現激活函數及其派生函數（代碼段2）。所實現的函數可用于修改代碼段3中的線性正向激活方法和代碼段5中的線性反向激活方法。

進一步改進

　　如果訓練數據集不夠大，則可能面臨“過度擬合”問題。這意味著所學的網絡不會概括為它從未見過的新例子。可以使用正則化方法，如L2規(guī)范化（它包括適當地修改成本函數）或退出（它在每次迭代中隨機關閉一些感知機）。

　　我們使用梯度下降來更新參數和最小化成本。你可以學習更多高級優(yōu)化方法，這些方法可以加快學習速度，甚至可以為成本函數提供更好的最終價值，例如：